位相空間論：完全不連結性と一点コンパクト化
1. 基礎的な定義
定義：完全不連結 (Totally Disconnected)
位相空間 $X$ の連結部分集合が、空集合または1点集合のみであるとき、$X$ は完全不連結であるという。
定義：クロープン集合 (Clopen Set)
開集合 (open set) であり、かつ閉集合 (closed set) でもある集合をクロープン集合と呼ぶ。
定義：一点コンパクト化 (One-point Compactification)
局所コンパクトなハウスドルフ空間 $X$ に対し、新しい点 $\infty$ を加え、$X^* = X \cup \{\infty\}$ とする。$\infty$ の開近傍を $U = X^* \setminus K$（$K$ は $X$ のコンパクト部分集合）と定義することで得られるコンパクト空間を $X$ の一点コンパクト化と呼ぶ。
2. 完全不連結空間の性質と $T_1$ 性
完全不連結空間 $X$ は $T_1$ 空間である。
証明：
任意の点 $x \in X$ に対し、その連結成分を $C(x)$ とする。
一般に、連結成分は常に閉集合である（連結集合の閉包も連結であり、連結成分は極大であるため）。
完全不連結の定義より、$C(x) = \{x\}$ である。
したがって、任意の1点集合 $\{x\}$ は閉集合となり、$X$ は $T_1$ 空間の定義を満たす。$\square$
3. 無限離散空間の一点コンパクト化
無限離散空間 $D$ の一点コンパクト化 $E = D \cup \{\infty\}$ を考える。$D$ の部分は離散位相であるため、コンパクト集合は有限集合に限られる。
完全不連結・コンパクト・ハウスドルフ性の証明：
- コンパクト性：任意の開被覆 $\mathcal{U}$ に対し、$\infty$ を含む $U \in \mathcal{U}$ が存在する。$E \setminus U$ は $D$ の有限集合であるため、残りの点は有限個の開集合で覆える。
- ハウスドルフ性：$x, y \in D$ は単元集合で分離可能。$x \in D$ と $\infty$ については、$V = \{x\}$（開集合）と $W = E \setminus \{x\}$（$\infty$ を含み補集合が有限なため開集合）により分離可能。
- 完全不連結性：任意の点 $x \in D$ に対し、$\{x\}$ は開集合かつ、補集合 $E \setminus \{x\}$ も開集合である。よって $\{x\}$ はクロープン集合である。2点を含む集合は、これらのクロープン集合によって必ず分離（不連結化）される。
4. 非ハウスドルフな完全不連結コンパクト空間
構成：
無限離散空間 $D$ の一点コンパクト化のコピーを2つ用意し、$D$ の部分のみを貼り合わせた空間 $X = D \cup \{\infty, \infty'\}$ を考える。
性質の証明：
- 非ハウスドルフ性：$\infty$ の近傍は $D$ の有限個を除く全点を含み、$\infty'$ の近傍も同様である。$D$ が無限集合であるため、これら2つの近傍の交わりは常に空にならない。
- 完全不連結性：$D$ 内の点は単元クロープン集合で分離される。また、部分空間 $\{\infty, \infty'\}$ は、一方が $D$ と共に開集合（例：$D \cup \{\infty\}$）となるため、相対位相において不連結である。
5. その他の完全不連結空間の例
1. 有理数の集合 $\mathbb{Q}$
通常の数直線 $\mathbb{R}$ の相対位相において、$\mathbb{Q}$ は完全不連結である。任意の2つの有理数の間には必ず無理数が存在するため、それを用いて空間を2つの開集合に分断できる。
2. カントール集合 $\mathcal{C}$
カントール集合は、コンパクト・ハウスドルフかつ完全不連結な空間の代表例である。この空間は「孤立点を持たない完全不連結なコンパクト・ハウスドルフ空間は、カントール集合と同相である」という極めて強い性質を持つ。
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